六人集會和抽屜原理問題

　　“任意367個人中，必有生日相同的人。”

　　“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。”

　　“從數1，2，...，10中任取6個數，其中至少有2個數為奇偶性不同。”

　　......

　　大家都會認為上面所述結論是正確的。這些結論是依據什么原理得出的呢？這個原理叫做抽屜原理。它的內容可以用形象的語言表述為：

　　“把m個東西任意分放進n個空抽屜里（m>n），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個東西。”

　　在上面的第一個結論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當于把367個東西放入366個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。在第二個結論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，...，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。

　　抽屜原理的一種更一般的表述為：

　　“把多于kn個東西任意分放進n個空抽屜（k是正整數），那么一定有一個抽屜中放進了至少k+1個東西。”

　　利用上述原理容易證明：“任意7個整數中，至少有3個數的兩兩之差是3的倍數。”因為任一整數除以3時余數只有0、1、2三種可能，所以7個整數中至少有3個數除以3所得余數相同，即它們兩兩之差是3的倍數。

　　如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：

　　“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西。”

　　抽屜原理的內容簡明樸素，易于接受，它在數學問題中有重要的作用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。

　　1958年6/7月號的《美國數學月刊》上有這樣一道題目：

　　“證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識。”

　　這個問題可以用如下方法簡單明了地證出：

　　在平面上用6個點A、B、C、D、E、F分別代表參加集會的任意6個人。如果兩人以前彼此認識，那么就在代表他們的兩點間連成一條紅線；否則連一條藍線�？紤]A點與其余各點間的5條連線AB，AC，...，AF，它們的顏色不超過2種。根據抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設AB，AC，AD同為紅色。如果BC，BD，CD3條連線中有一條（不妨設為BC）也為紅色，那么三角形ABC即一個紅色三角形，A、B、C代表的3個人以前彼此相識：如果BC、BD、CD3條連線全為藍色，那么三角形BCD即一個藍色三角形，B、C、D代表的3個人以前彼此不相識。不論哪種情形發(fā)生，都符合問題的結論。

　　六人集會問題是組合數學中著名的拉姆塞定理的一個最簡單的特例，這個簡單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結論。這些結論構成了組合數學中的重要內容-----拉姆塞理論。從六人集會問題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應用。
 

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