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第八講 根與系數的關系及應用

來源:初中數學競賽 2005-09-09 16:24:35

中考真題

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如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的兩根為x1x2,那么

反過來,如果x1,x2滿足x1+x2=px1x2=q,則x1,x2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個根.一元二次方程的韋達定理,揭示了根與系數的一種必然聯系.利用這個關系,我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數式的值、構造方程、證明等式和不等式等問題,它是中學數學中的一個有用的工具.

  1.已知一個根,求另一個根

  利用韋達定理,我們可以通過方程的一個根,求出另一個根.

  例1 方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的大根為a,方程x21998x-1999=0的小根為b,求a-b的值.

  解 先求出a,b

  由觀察知,1是方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的根,于是由韋達

  又從觀察知,1也是方程x21998x-1999=0的根,此方程的另一根為-1999,從而b=-1999

  所以a-b=1-(-1999)=2000

  例2 a是給定的非零實數,解方程

 

  解 由觀察易知,x1=a是方程的根.又原方程等價于

 

  

  2.求根的代數式的值

  在求根的代數式的值的問題中,要靈活運用乘法公式和代數式的恒等變形技巧.

  例3 已知二次方程x2-3x1=0的兩根為α,β,求:

  

  (3)α3+β3;(4)α3-β3

  解 由韋達定理知

α+β=3,αβ=1

  

  (3)α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)

       =(α+β)[(α+β)2-3αβ]

       =3(9-3)=18

  (4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)

       =(α-β)[(α+β)2-αβ]

      

  例4 設方程4x2-2x-3=0的兩個根是α和β,求4α22β的值.

  解 因為α是方程4x2-2x-3=0的根,所以

4α2-2α-30,

4α2=2α+3

4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4

  例5 已知α,β分別是方程x2x-1=0的兩個根,求2α5+5β3的值.

  解 由于α,β分別是方程x2x-1=0的根,所以

α2+α-1=0,β2+β-1=0,

即 α2=1-α,β2=1-β.

     α5=(α2)2=(1-α)2α=(α2-2α+1)α

      =(1-α-2α+1)α=-3α2+2α

      =-3(1-α)+2α=5α-3

     β3=β2=(1-β)β=β-β2

       =β-(1-β)=2β-1

所以

     2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)

          =10(α+β)-11=-21

  說明 此解法的關鍵在于利用α,β是方程的根,從而可以把它們的冪指數降次,最后都降到一次,這種方法很重要.

  例6 設一元二次方程ax2bxc=0的兩個實根的和為s1,平方和為s2,立方和為s3,求as3bs2cs1的值.

  解 x1,x2是方程的兩個實根,于是

 

所以      as3bs2cs1=0

  說明 本題最“自然”的解法是分別用a,b,c來表示s1,s2s3,然后再求as3bs2cs1的值.當然這樣做運算量很大,且容易出錯.下面我們再介紹一種更為“本質”的解法.

  另解 因為x1,x2是方程的兩個實根,所以

 

同理

         

將上面兩式相加便得

as3bs2cs10

  3.與兩根之比有關的問題

  例7 如果方程ax2bxc=0(a0)的根之比等于常數k,則系數ab,c必滿足:

kb2=(k1)2ac

  證 設方程的兩根為x1x2,且x1=kx2,由韋達定理

由此兩式消去x2

         

kb2(k1)2ac

  例8 已知x1,x2是一元二次方程

4x2-(3m-5)x-6m20

  解 首先,△=(3m-5)296m20,方程有兩個實數根.由韋達定理知

 

 

從上面兩式中消去k,便得

           

      m2-6m+5=0,

所以 m1=1m2=5

  4.求作新的二次方程

  例9 已知方程2x2-9x8=0,求作一個二次方程,使它的一個根為原方程兩根和的倒數,另一根為原方程兩根差的平方.

  解 x1,x2為方程2x2-9x8=0的兩根,則

設所求方程為x2+px+q=0,它的兩根為x'1,x'2,據題意有

   

所以,求作的方程是

36x2-161x34=0

  例10 x2-pxq=0的兩實數根為α,β.

  (1)求以α3,β3為兩根的一元二次方程;

  (2)若以α3,β3為根的一元二次方程仍是x2-pxq=0,求所有這樣的一元二次方程.

(1)由韋達定理知

α+β=p,αβ=q,

所以

α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q)

α33=(αβ)3=q3

所以,以α3,β3為兩根的一元二次方程為

x2-p(p2-3q)x+q3=0

  (2)(1)及題設知

          

由②得q=0,±1.若q=0,代入①,得p=0,±1;若q=-1,代入①,

以,符合要求的方程為

x2=0,x2-x=0,x2+x=0x2-1=0

  5.證明等式和不等式

  利用韋達定理可以證明一些等式和不等式,這常常還要用判別式來配合.

  例11 已知實數x,y,z滿足

x=6-y,z2=xy-9

求證:x=y

  證 因為xy=6,xy=z29,所以xy是二次方程

t2-6t+(z2+9)=0

的兩個實根,于是這方程的判別式

=36-4(z2+9)=-4z20

z20.因z為實數,顯然應有z20.要此兩式同時成立,只有z=0,從而△=0,故上述關于t的二次方程有等根,即x=y

  例12 a,b,c都是實數,且

abc=0abc=1,

  證 abc=0abc=1可知,a,b,c中有一個正數、兩個負數,不妨設a是正數,由題意得

于是根據韋達定理知,bc是方程

                

的兩個根.又b,c是實數,因此上述方程的判別式

因為a0,所以

a3-40a34,

 

  例13 x1x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的兩個實根.

   

  

  解 (1)顯然a0,由△=16a2-16a(a+4)0,得a0.由韋達定理知

所以

 

 

所以a=9,這與a0矛盾.故不存在a,使

(2)利用韋達定理

        

所以(a+4)|16,即a+4=±1,±2,±4,±8,±16.結合a0,得a=-2-3-5,-6,-8,-12,-20

練習八

  1.選擇:

  (1)x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,則判別式△=b2-4ac與平方式M=(2ax0+b)2的關系是 [   ]

   (A)△>M       (B)=M

   (C)=M       (D)不確定

  (2)方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數根x1,x2,則 

   

  [   ]

   (A)-4      (B)8

   (C)6       (D)0

  [   ]

   (A)3       (B)-11

   (C)3-11     (D)11

  2.填空:

  (1)如果方程x2+px+q=0的一根為另一根的2倍,那么,pq滿足的關系式是______

  (2)已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實數根,甲由于看錯了二次項系數,誤求得兩根為24,乙由于看錯了某一項系數的符號,

 

  

1993+5a2+9a4=_______

  (4)已知a是方程x2-5x+1=0的一個根,那么a4+a-4的末位數是______

  另一根為直角邊a,則此直角三角形的第三邊b=______

  3.已知α,β是方程x2-x-1=0的兩個實數根,求α4+3β的值.

  4.作一個二次方程,使它的兩個根α,β是正數,并且滿足關系式

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