第三講 簡(jiǎn)易高次方程的解法

所以

設(shè)

則

即

　　例4 解方程

12x⁴-56x³+89x²-56x+12=0．

　　解 觀(guān)察方程的系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)有以下特點(diǎn)：x⁴的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相同，x³的系數(shù)與x的系數(shù)相同，像這樣的方程我們稱(chēng)為倒數(shù)方程．由　

　　例5 解方程

　　解 方程的左邊是平方和的形式，添項(xiàng)后可配成完全平方的形式．

　　經(jīng)檢驗(yàn)，x₁=-1，x₂=2是原方程的根．

　　例6 解方程

(x+3)⁴+(x+1)⁴=82．

　　分析與解 由于左邊括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)二項(xiàng)式只相差一個(gè)常數(shù)，所以設(shè)

于是原方程變?yōu)?/P>

(y＋1)⁴＋(y-1)⁴＝82，

y⁴+6y2^-40=0．

解這個(gè)方程，得y=±2，即

x+2=±2．

解得原方程的根為x₁=0，x₂=-4．

　　說(shuō)明 本題通過(guò)換元，設(shè)y=x＋2后，消去了未知數(shù)的奇次項(xiàng)，使方程變?yōu)橐子谇蠼獾碾p二次方程．一般地，形如

(x＋a)⁴＋(x+b)⁴=c

　　例7 解方程

　　　　　x⁴-10x³-2(a-11)x²＋2(5a+6)x+2a+a²=0，其中a是常數(shù)，且a≥-6．

　　解 這是關(guān)于x的四次方程，且系數(shù)中含有字母a，直接對(duì)x求解比較困難(當(dāng)然想辦法因式分解是可行的，但不易看出)，我們把方程寫(xiě)成關(guān)于a的二次方程形式，即

　　　　a²-2(x²-5x-1)a+(x⁴-10x³＋22x²+12x)=0，

　　　　△=4(x²-5x-1)²-4(x4-10x³＋22x²＋12x)

　　　　　=4(x²-2x+1)．

a=x²-4x-2或a=x²-6x．

從而再解兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，得

　　1．填空：

　　(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根為_______．

　　(2)方程x³-3x＋2=0的根為_____．

　　(3)方程x⁴+2x³-18x²-10x+25=0的根為_______．

　　(4)方程(x²+3x-4)²＋(2x²-7x＋6)²=(3x²-4x+2)²的根為______．

　　2．解方程

(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x⁴．

　　3．解方程

x⁵＋2x⁴-5x³＋5x²-2x-1=0．

　　4．解方程　

　　5．解方程

(x+2)⁴+(x-4)⁴=272．

　　6．解關(guān)于x的方程

x³+(a-2)x²-(4a+1)x-a²＋a+2=0．

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