第五講 函數(shù)的基本概念與性質(zhì)

　　3．含絕對值的函數(shù)

　　一次函數(shù)的圖像是一條直線，含有絕對值符號的函數(shù)所對應(yīng)的圖像是由若干條線段和射線所組成的折線；二次函數(shù)的圖像是拋物線，而y=|ax²＋bx＋c|的圖像是將y=ax²+bx+c在x軸下方的圖像按x軸為對稱軸翻到x軸的上方．對于一些其他的含絕對值符號的函數(shù)和方程的圖像，需要按區(qū)間分段討論．

　　例7 作函數(shù)y=|3-x|+|x-1|的圖像．

　　解 當(dāng)x＜1時，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；

　　當(dāng)1≤x＜3時，y=(3-x)＋(x-1)=2；當(dāng)x≥3時，y=(x-3)＋(x-1)=2x-4．所以

它的圖像如圖3－3所示．

　　例8 作函數(shù)y=|x²-5x+6|的圖像．

　　解 當(dāng)x≤2或x≥3時，x²-5x+6≥0，于是y=x²-5x+6；當(dāng)2＜x＜3時，x²-5x+6＜0，于是y=-(x²-5x+6)．所以

于是，得圖像如圖3－4所示．

　　例9 點(x，y)滿足方程

|x-1|+|y+2|=2，

　　解 當(dāng)x≥1，y≥-2時，x-1＋y＋2=2，即

y=-x+1．

當(dāng)x≥1，x＜-2時，x-1-(y＋2)=2，即

y=x-5．

當(dāng)x＜1，y≥-2時，-x+1+y＋2=2，即

y=x-1．

當(dāng)x＜1，y＜-2時，-x＋1-(y＋2)=2，即

y=-x-3．

于是，所得圖像如圖3－5所示．

　　由此可知，|x-1|+|y+2|=2的圖像是一個對角線長為4，邊長為2

　　例10 m是什么實數(shù)時，方程x²-4|x|＋5=m有四個互不相等的實數(shù)根？

　　解法1 將原方程變形為

x²-4|x|＋4=m-1．

令y=x²-4|x|+4=m-1，則

它的圖像如圖3－6，而y=m-1是一條與x軸平行的直線．原方程有四個互不相等的實根，即直線應(yīng)與曲線有四個不同的交點．由圖像可知，當(dāng)0＜m-1＜4，即1＜m＜5時，直線與曲線有四個不同的交點，所以，當(dāng)1＜m＜5時，方程x²-4|x|＋5=m有四個互不相等的實數(shù)根．

　　說明 本題是一個方程問題，我們利用圖形來研究，這是一種非常重要的思想方法――數(shù)形結(jié)合法．當(dāng)然，本題不用圖像也是可以解的，下面給出解法，請讀者比較一下．

　　解法2 原方程變形為

(|x|-2)²＝m-1，

　　1．填空：

　　(1)已知f(x-1)=19x²＋55x-44，則f(x)=_______．

　　(2)對所有實數(shù)x，f(x²+1)=x⁴＋5x²＋3，那么對所有實數(shù)x，f(x²-1)=_______．

　　(3)設(shè)x與y²成反比例，y與z²成正比例．當(dāng)x=24時，y=2；當(dāng)y=18時，z=3，則z=1時，x=_______．

　　(4)已知y=2x²＋mx＋5的值恒為正，且m為實數(shù)，則m的范圍是_______．

函數(shù)，且當(dāng)x=2，x=3時，y的值都為19，則y的解析式為y=_______．

　　(6)如果y＋m與x＋n成正比例，且當(dāng)x=1時，y=2；當(dāng)x=-1時，y=1，則y與x間的函數(shù)關(guān)系式是y=_______．

　　2．在平面直角坐標(biāo)系里，點A的坐標(biāo)是(4，0)，點P是第一象限內(nèi)一次函數(shù)y=-x＋6的圖像上的點，原點是O，如果△OPA的面積為S，P點坐標(biāo)為(x，y)，求S關(guān)于x的函數(shù)表達式．

　　3．平面直角坐標(biāo)上有點P(-1，-2)和點Q(4，2)，取點R(1，m)，試問當(dāng)m為何值時，PR＋RQ有最小值．

　　試求k的取值范圍．

　　5．設(shè)y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|，且2≤x≤8，試求y的最大值與最小值之和．

　　6．作y=2|x-3|，y=x-a的圖像，問a取什么值時，它們可以圍出一個平面區(qū)域，并求其面積．

　　7．m是什么實數(shù)時，方程|x²-4x+3|=m有三個互不相等的實數(shù)解．