2019年中考數(shù)學(xué)趣味數(shù)學(xué)：四片果樹(shù)林

斯隆先生有四片果樹(shù)林分別種了蘋(píng)果樹(shù)、檸檬樹(shù)、柑橘樹(shù)和桃樹(shù)。

1)果樹(shù)林的果樹(shù)都成行排列，每片果樹(shù)林中各行的果樹(shù)棵數(shù)相等。

2)蘋(píng)果林的行數(shù)最少，檸檬林比蘋(píng)果林多一行。柑橘林比檸檬林多一行，桃樹(shù)林又比柑橘林多一行。

3)有三片果樹(shù)林，每片果樹(shù)林四周邊界上的果樹(shù)與其內(nèi)部的果樹(shù)棵數(shù)相等。

在這四片果樹(shù)中，哪一片邊界上的果樹(shù)與其內(nèi)部的果樹(shù)棵數(shù)不相等?

提示：用代數(shù)式表示3)中提到的那三片果樹(shù)林邊界上果樹(shù)的棵數(shù)和內(nèi)部果樹(shù)的棵數(shù)。對(duì)于這三片果樹(shù)林的相鄰邊上果樹(shù)的棵數(shù)，只有四對(duì)可能的值。)

答 案

如圖所示：

根據(jù){1)果樹(shù)林的果樹(shù)都成行排列，每片果樹(shù)林中各行的果樹(shù)

棵數(shù)相等。}，設(shè){3)有三片果樹(shù)林，每片果樹(shù)林四周邊界上的果樹(shù)與其內(nèi)部的果樹(shù)棵數(shù)相等。}中提到的三片果樹(shù)林的兩條相鄰邊上果樹(shù)的棵數(shù)分別為x和y。于是邊界上果樹(shù)的棵數(shù)等于y+y)+x-2)+x-2),即2y+2x-4;而內(nèi)部果樹(shù)的棵數(shù)等于x-2)×y-2)根據(jù){3)有三片果樹(shù)林，每片果樹(shù)林四周邊界上的果樹(shù)與其內(nèi)部的果樹(shù)棵數(shù)相等。}，

2y+2x-4=x-2)y-2)

解出x，

于是y必須大于4，而y-4必須整除4y-8。

經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)，得出以下四對(duì)數(shù)值：

這里是全部可能的數(shù)值，因?yàn)?y-8)/y-4)等于4+8/y-4)，要使8/y-4)為正整數(shù)，y必須是5、6、8或者12。)

根據(jù){2)蘋(píng)果林的行數(shù)最少，檸檬林比蘋(píng)果林多一行。柑橘林比檸檬林多一行，桃樹(shù)林又比柑橘林多一行。}，一定是蘋(píng)果林有5行，檸檬林有6行，柑橘林有7行，桃樹(shù)林有8行。

由于有7行果樹(shù)的柑橘林不能滿足條件3)，所以邊界上的果樹(shù)與內(nèi)部的果樹(shù)棵數(shù)不相等的果樹(shù)林是柑橘林。

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