I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c
�。╝，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大）則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)2+k[拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A（x?，0）和B（x?，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a
x₁,x2=(-b±√b2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時，
P在y軸上；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
當(dāng)h>0時，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到，
當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；
當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；
當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；
當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；
因此，研究拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。
2．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b2]/4a)．
3．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x≤-b/2a時，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥-b/2a時，y隨x的增大而減�。�
4．拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當(dāng)△=b2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?|
當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當(dāng)△<0．圖象與x軸沒有交點．當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0．
5．拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般式：
y=ax2+bx+c(a≠0)．
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)。
例題
本題作為一個閱讀理解型題目，比較新穎，下面展示的答案是以“代數(shù)為突破口”，主要建立一次函數(shù)解析式，讀者可自行嘗試以幾何為突破口，建立A字形或8字形，列比例線段獲知所需結(jié)論，計算更為簡易。
歡迎使用手機、平板等移動設(shè)備訪問中考網(wǎng)，2023中考一路陪伴同行！>>點擊查看
