一、知識框架
二、方程的有關概念
1．方程：含有未知數(shù)的等式就叫做方程。
2．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元）x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程。例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程。
3．方程的解：使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個數(shù)值（或幾個數(shù)值），而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無解的過程。⑵方程的解的檢驗方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論。
三、移項法則：把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。
四、去括號法則
1．括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應各項的符號相同．
2．括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應各項的符號改變．
五、解方程的一般步驟
1．去分母（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)）
2．去括號（按去括號法則和分配律）
3．移項（把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其他項都移到方程的另一邊，移項要變號）
4．合并（把方程化成ax=b（a≠0）形式）
5．系數(shù)化為1（在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=ba）。
六、用方程思想解決實際問題的一般步驟
1．審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間的關系。
2．設：設未知數(shù)（可分直接設法，間接設法）。
3．列：根據(jù)題意列方程。
4．解：解出所列方程。
5．檢：檢驗所求的解是否符合題意。
6．答：寫出答案（有單位要注明答案）。
七、有關常用應用類型題及各量之間的關系
1、和、差、倍、分問題：
�。�1）倍數(shù)關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……”來體現(xiàn)。
�。�2）多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現(xiàn)。
2、等積變形問題：
“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤�。常用等量關系為：
�、傩螤蠲娣e變了，周長沒變；
�、谠象w積＝成品體積。
3、勞力調(diào)配問題：
這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：
�。�1）既有調(diào)入又有調(diào)出。
�。�2）只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變。
�。�3）只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。
4、數(shù)字問題
�。�1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c
�。�2）數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n—2表示；奇數(shù)用2n+1或2n—1表示。
5、工程問題：
工程問題中的三個量及其關系為：工作總量=工作效率×工作時間
6、行程問題：
�。�1）行程問題中的三個基本量及其關系：路程=速度×時間。
�。�2）基本類型有
�、傧嘤鰡栴}；②追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。
7、商品銷售問題
有關關系式：
商品利潤=商品售價—商品進價=商品標價×折扣率—商品進價
商品利潤率=商品利潤/商品進價
商品售價=商品標價×折扣率
8、儲蓄問題
�。�1）顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅
�。�2）利息=本金×利率×期數(shù)
本息和=本金+利息
利息稅=利息×稅率（20%）
一元一次方程應用考試題型大全
一、工程問題
列方程解應用題是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，其核心思想就是將等量關系從情景中剝離出來，把實際問題轉(zhuǎn)化成方程或方程組， 從而解決問題。
列方程解應用題的一般步驟（解題思路）
�。�1）審——審題：認真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關系（找出等量關系）．
�。�2）設——設出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設未知數(shù)．
�。�3）列——列出方程：設出未知數(shù)后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找出的等量關系列出方程．
�。�4）解——解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．
�。�5）答——檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案．（注意帶上單位）
【典例探究】
例1 將一批數(shù)據(jù)輸入電腦，甲獨做需要50分鐘完成，乙獨做需要30分鐘完成，現(xiàn)在甲獨做30分鐘，剩下的部分由甲、乙合做，問甲、乙兩人合做的時間是多少？
解析：首先設甲乙合作的時間是x分鐘，根據(jù)題意可得等量關系：甲工作（30+x）分鐘的工作量+乙工作x分鐘的工作量=1，根據(jù)等量關系，列出方程，再解方程即可．
設甲乙合作的時間是x分鐘，由題意得：
【方法突破】
工程問題是典型的a=bc型數(shù)量關系，可以知二求一，三個基本量及其關系為：
工作總量＝工作效率×工作時間
需要注意的是：工作總量往往在題目條件中并不會直接給出，我們可以設工作總量為單位1。
二、比賽計分問題
【典例探究】
例1某企業(yè)對應聘人員進行英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標準規(guī)定：每道題的答案選對得3分，不選得0分，選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個人選錯了 道題。
解：設這個人選對了x道題目，則選錯了(45-x)道題，于是
3x-（45-x）=103
4x=148
解得x=37
則45-x=8
答：這個人選錯了8道題.
例2某校高一年級有12個班．在學校組織的高一年級籃球比賽中，規(guī)定每兩個班之間只進行一場比賽，每場比賽都要分出勝負，每班勝一場得2分，負一場得1分．某班要想在全部比賽中得18分，那么這個班的勝負場數(shù)應分別是多少？
因為共有12個班，且規(guī)定每兩個班之間只進行一場比賽，所以這個班應該比賽11場，設勝了x場，那么負了（11-x）場，根據(jù)得分為18分可列方程求解．
【解析】
設勝了x場，那么負了（11-x）場．
2x+1?（11-x）=18
x=7
11-7=4
那么這個班的勝負場數(shù)應分別是7和4．
【方法突破】
比賽積分問題的關鍵是要了解比賽的積分規(guī)則，規(guī)則不同，積分方式不同，常見的數(shù)量關系有：
每隊的勝場數(shù)＋負場數(shù)+平場數(shù)＝這個隊比賽場次;
得分總數(shù)+失分總數(shù)＝總積分;
失分常用負數(shù)表示，有些時候平場不計分，另外如果設場數(shù)或者題數(shù)為x，那么x最后的取值必須為正整數(shù)。
三、順逆流（風）問題
【典例探究】
例1 某輪船的靜水速度為v千米/時，水流速度為m千米/時，則這艘輪船在兩碼頭間往返一次順流與逆流的時間比是（ ）
【方法突破】
抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜水速）不變的特點考慮相等關系．即順水逆水問題常用等量關系：順水路程=逆水路程．
順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度
逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度
水流速度=(順水速度-逆水速度）÷2
四、調(diào)配問題
【典例探究】
例1 某廠一車間有64人，二車間有56人．現(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半．問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間？
解析：如果設從一車間調(diào)出的人數(shù)為x，那么有如下數(shù)量關系
原有人數(shù)
現(xiàn)有人數(shù)
一車間
64
64-x
二車間
56
56+x
設需從第一車間調(diào)x人到第二車間，根據(jù)題意得：
2（64-x）=56+x，
解得x=24；
答：需從第一車間調(diào)24人到第二車間．
例2 甲倉庫儲糧35噸 ，乙倉庫儲糧19噸，現(xiàn)調(diào)糧食15噸，應分配給兩倉庫各多少噸，才能使得甲倉庫的糧食數(shù)量是乙倉庫的兩倍？
解析 ：若設應分給甲倉庫糧食X噸，則數(shù)量關系如下表
五、連比條件巧設x
【典例探究】
例1. 一個三角形三邊長之比為2：3：4，周長為36cm，求此三角形的三邊長．
解析：設三邊長分別為2x，3x，4x，根據(jù)周長為36cm，可得出方程，解出即可．
設三邊長分別為2x，3x，4x，
由題意得，2x+3x+4x=36，
解得：x=4．
故三邊長為：8cm，12cm，16cm．
例2 .三個數(shù)的比是5：12：13，這三個數(shù)的和為180，則最大數(shù)比最小數(shù)大（ ）
A．48 B．42
C．36 D．30
解析:此題可設每一份為x，則三個數(shù)分別表示為5x、12x、13x，根據(jù)三個數(shù)的和為180，列方程求解即可．
設每一份為x，則三個數(shù)分別表示為5x、12x、13x，
依題意得：5x+12x+13x=180，
解得x=6
則5x=30，13x=78，78-30=48
故選A．
【方法突破】
比例分配問題的一般思路為：設其中一份為x ，利用已知的比，寫出相應的代數(shù)式。
常用等量關系：各部分之和=總量。
六、配套問題
【典例探究】
例1 包裝廠有工人42人，每個工人平均每小時可以生產(chǎn)圓形鐵片120片，或長方形鐵片80片，兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個密封圓桶，問每天如何安排工人生產(chǎn)圓形和長方形鐵片能合理地將鐵片配套？
解法1：可設安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，則生產(chǎn)圓形鐵片的人數(shù)為（42-x）人，根據(jù)兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個密封圓桶可列出關于x的方程，求解即可．
設安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，則生產(chǎn)圓形鐵片的人數(shù)為（42-x）人，由題意得：
120（42-x）=2×80x，
去括號，得5040-120x=160x，
移項、合并得280x=5040，
系數(shù)化為1，得x=18，
42-18=24（人）；
答：安排24人生產(chǎn)圓形鐵片，18人生產(chǎn)長方形鐵片能合理地將鐵片配套．
解法2：若安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，y人生產(chǎn)圓形鐵片，根據(jù)共有42名工人，可知x+y=42.再根據(jù)兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套可知2×80x=120y，列出二元一次方程組求解。
設安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，y人生產(chǎn)圓形鐵片，則有
答：安排24人生產(chǎn)圓形鐵片，18人生產(chǎn)長方形鐵片能合理地將鐵片配套．
【方法突破】
七、日歷問題
八、利潤及打折問題
【典例探究】
例1：（2016?荊州）互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺上一件商品標價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為（ ）
A．120元 B．100元
C．80元 D．60元
分析：設該商品的進價為x元/件，根據(jù)“售價=進價+利潤”即可列出關于x的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．
解：設該商品的進價為x元/件，
依題意得：（x+20）=200×0.5，
解得：x=80．
∴該商品的進價為80元/件．[來源:Zxxk.Com]
故選C．
例2 （2015?長沙）長沙紅星大市場某種高端品牌的家用電器，若按標價打八折銷售該電器一件，則可獲利潤500元，其利潤率為20%．現(xiàn)如果按同一標價打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為（ ）
A． 562.5元 B． 875元
C． 550元 D． 750元
分析： 由利潤率算出成本，設標價為x元，則根據(jù)“按標價打八折銷售該電器一件，則可獲利潤500元”可以得到x的值；然后計算打九折銷售該電器一件所獲得的利潤．
解答： 解：設標價為x元，成本為y元，由利潤率定義得
500÷y=20%，y=2500（元）．
x×0.8﹣2500=500，
解得：x=3750．
則3750×0.9﹣2500=875（元）．
故選：B．
【方法突破】
商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量
商品的銷售總利潤＝（銷售價－成本價）× 銷售量
單件商品利潤＝商品售價－商品進價＝商品標價×折扣率－商品進價
商品打幾折出售，就是按原標價的十分之幾出售，即商品售價=商品標價×折扣率
九、利率和增長率問題
【典例探究】
例1（2016?安徽）2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，2015年比2014年增長9.5%，若2013年和2015年我省財政收入分別為a億元和b億元，則a、b之間滿足的關系式為（ �。�
A．b=a（1+8.9%+9.5%）
B．b=a（1+8.9%×9.5%）
C．b=a（1+8.9%）（1+9.5%）
D．b=a（1+8.9%）2（1+9.5%）
分析：根據(jù)2013年我省財政收入和2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，求出2014年我省財政收入，再根據(jù)出2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財政收為b億元，
即可得出a、b之間的關系式．
解：∵2013年我省財政收入為a億元，2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，
∴2014年我省財政收入為a（1+8.9%）億元，
∵2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財政收為b億元，
∴2015年我省財政收為b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；
故選C．
例2 小明去銀行存入本金1000元，作為一年期的定期儲蓄，到期后小明稅后共取了1018元，已知利息稅的利率為20%，則一年期儲蓄的利率為（ ）
A．2.25% B．4.5%
C．22.5% D．45%
解析：設一年期儲蓄的利率為x，根據(jù)稅后錢數(shù)列方程即可．
設一年期儲蓄的利率為x，根據(jù)題意列方程得：
1000+1000x（1-20%）=1018，
解得x=0.0225，
∴一年期儲蓄的利率為2.25%，故選A．
十、方案選擇問題(1)
【典例探究】
例1某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機．已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．
�。�1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案．
�。�2）若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？
解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，
設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺．
�。�1）①當選購A，B兩種電視機時，B種電視機購（50-x）臺，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000
即 5x+7（50-x）=300
2x=50
x=25
50-x=25
②當選購A，C兩種電視機時，C種電視機購（50-x）臺，
可得方程 1500x+2500（50-x）=90000
3x+5（50-x）=180
x=35
50-x=15
�、郛斮廈，C兩種電視機時，C種電視機為（50-y）臺．
可得方程 2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意
由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機各25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺．
（2）若選擇（1）中的方案①，可獲利
150×25+200×25=8750（元）
若選擇（1）中的方案②，可獲利
150×35+250×15=9000（元）
9000>8750
故為了獲利最多，選擇第二種方案．
【方法突破】
這類問題根據(jù)題意分別列出不同的方案的代數(shù)式，再通過計算比較結(jié)果，即可得到滿足題意的方案，需要注意的是要留意題目中的方案要求，常見的是要求利潤最大，但是有時也有要求消庫存最多或者最節(jié)約成本，要注意審題，不可犯慣性錯誤。
十一、方案選擇問題（2）
【典例探究】
例1某班準備購置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老師安排小明和小強分別到甲、乙兩家商店咨詢了同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍的價格，下面是小明、小強和李老師的對話．
小明：甲商店乒乓球拍每副定價30元，乒乓球每盒定價5元，每買一副乒乓球拍可以贈送一盒乒乓球．
小強：乙商店乒乓球和乒乓球拍的定價與甲商店一樣，但乙商店可以全部按定價的九折優(yōu)惠．
李老師：我們班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒．
根據(jù)以上對話回答下列問題：
（1）當購置的乒乓球為多少盒時，甲、乙兩家商店所需費用一樣多？
�。�2）若需要購置30盒乒乓球，你認為到哪家商店購買更合算？（要求有計算過程）
【解析】（1）根據(jù)題意可設當購買乒乓球x盒時，兩種優(yōu)惠辦法付款一樣，列出一元一次方程解答即可．
�。�2）求出當購買30盒乒乓球時，甲、乙兩家商店各需要多少元，據(jù)此即可解答．
�。�1）設當購買乒乓球x盒時，
甲店：30×5+5×（x-5）=5x+125，
乙店：90%（30×5+5x）=4.5x+135，
由題意可知：5x+125=4.5x+135，
解得：x=20；即當購買乒乓球20盒時，甲、乙兩家商店所需費用一樣多．
（2）當購買30盒乒乓球時，
去甲店購買要5×30+125=275（元），
去乙店購買要4.5×30+135=270（元），
所以去乙店購買合算．
【方法突破】
解決最佳選擇問題的一般步驟：
1、運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況；
2、用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解得值，分別代入兩種方案中計算，比較兩種方案的優(yōu)劣后下結(jié)論。
十二、分配問題
【典例探究】
例1．學校分配學生住宿，如果每室住8人，還少12個床位，如果每室住9人，則空出兩個房間。求房間的個數(shù)和學生的人數(shù)。
解：設房間數(shù)為x個，則有學生8x+12人，于是
8x+12=9(x-2)
解得 x=30
則8x+12=252
答：房間數(shù)為30個，學生252人。
例2 某工人原計劃在限定的時間內(nèi)加工一批零件，如果每小時加工10個零件，就可以超額完成3個；如果每小時加工11個零件，就可以提前1小時完成．問這批零件有多少個？按原計劃需多少小時完成？
解析：先設原計劃規(guī)定的期限為x小時，由“如果每小時做10個零件，就可以超額完成3個零件”，可知零件的總數(shù)是10x-3，再由“每小時做11個零件，就可以提前1小時完成任務”，可知零件的總數(shù)是11x-11，由此可得出一個等量關系式10x-3=11x-11，解答出來即可．
設規(guī)定的期限為x小時，由題意可得：
10x-3=11x-11，
10x-11x=3-11，
- x = -8，
x=8．
零件的總數(shù)是：10x-3=10×8-3=77．
答：這批零件有77個，按原計劃需8小時完成．
【方法突破】
這類分配問題中往往有兩個不變量，一般為參與分配的人數(shù)和被分配的物品數(shù)量，抓住這兩個不變量，用不同的代數(shù)式表示不同的分配方式，然后利用總數(shù)相等建立等量關系，問題也就迎刃而解了。
十三、有規(guī)律的相鄰數(shù)問題
【典例探究】
例1 一組數(shù)列1、4、7、10、…，其中有三個相鄰的數(shù)的和為66，求這三個數(shù)．
解析：觀察數(shù)列易得這個數(shù)列后面的數(shù)比它前面的數(shù)大3，設第一個數(shù)為x，表示出其余兩數(shù)，根據(jù)3個數(shù)相加等于66，列出方程，解方程即可．
設第一個數(shù)為x，則第二個數(shù)為x+3，第三個數(shù)為x+6，
依題意有：x+x+3+x+6=66，
解得x=19．
答：這三個數(shù)分別為：19、22、25．
例2 有一列數(shù)，按一定規(guī)律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三個相鄰數(shù)的和是3072，則這三個數(shù)中最小的數(shù)是 ．
解析：觀察數(shù)列不難發(fā)現(xiàn)后一個數(shù)是前一個數(shù)的-2倍，然后設最小的數(shù)是x，表示出另兩個數(shù)，再列出方程求解即可．
∵-2=1×（-2），
4=（-2）×（-2），
-8=4×（-2），
16=（-8）×（-2），
-32=16×（-2），…，
∴設第一個數(shù)是x，則后面兩個數(shù)分別為-2x，4x，
由題意得，x-2x+4x=3072，
解得x=1024，
即這三個數(shù)是1024，-2048,4096．
故最小的數(shù)為-2048．
【方法突破】
�。�1） 首先我們要熟悉數(shù)字問題中一些常用的表示：例如n可以表示任意整數(shù)，那么三個連續(xù)的整數(shù)可以表示為n-1，n，n+1或者n，n+1，n+2等形式；偶數(shù)常用2n表示,奇數(shù)常用2n+1或2n-1表示。
（2） 如果所給的數(shù)列是有一定規(guī)律的數(shù)列，我們關鍵要找到這列數(shù)字的規(guī)律，然后用相應的代數(shù)式表示出相鄰數(shù)，再列方程求解。
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