來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-02-13 20:15:50
一.方差的概念與計(jì)算公式
例1兩人的5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢?/p>
X:50,100,100,60,50E(X)=72;
Y:73,70,75,72,70E(Y)=72。
平均成績(jī)相同,但X不穩(wěn)定,對(duì)平均值的偏離大。
方差描述隨機(jī)變量對(duì)于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。
單個(gè)偏離是
消除符號(hào)影響
方差即偏離平方的均值,記為D(X):
直接計(jì)算公式分離散型和連續(xù)型,具體為:
這里是一個(gè)數(shù)。推導(dǎo)另一種計(jì)算公式
得到:“方差等于平方的均值減去均值的平方”。
其中,分別為離散型和連續(xù)型計(jì)算公式。稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,方差描述波動(dòng)
二.方差的性質(zhì)
1.設(shè)C為常數(shù),則D(C)=0(常數(shù)無波動(dòng));
2.D(CX)=C2D(X)(常數(shù)平方提取);
證:
特別地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差無負(fù)值)
3.若X、Y相互獨(dú)立,則
證:記
則
前面兩項(xiàng)恰為D(X)和D(Y),第三項(xiàng)展開后為
當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí),
,
故第三項(xiàng)為零。
特別地
獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和,可推廣到有限項(xiàng)。
方差公式:
平均數(shù):M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)
方差公式:S²;=〈(M-x1)²;+(M-x2)²;+(M-x3)²;+…+(M-xn)²;〉╱n
三.常用分布的方差
1.兩點(diǎn)分布
2.二項(xiàng)分布
X~B(n,p)
引入隨機(jī)變量Xi(第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù),服從兩點(diǎn)分布)
,
3.泊松分布(推導(dǎo)略)
4.均勻分布
另一計(jì)算過程為
5.指數(shù)分布(推導(dǎo)略)
6.正態(tài)分布(推導(dǎo)略)
7.t分布:其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
~
正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值的偏離程度,即波動(dòng)程度(隨機(jī)波動(dòng)),這與圖形的特征是相符的。
例2求上節(jié)例2的方差。
解根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律,計(jì)算得到
工人乙廢品數(shù)少,波動(dòng)也小,穩(wěn)定性好。
方差的定義:
設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3······xn中,各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)²;,(x2-x拔)²;······(xn-x拔)²;,那么我們用他們的平均數(shù)s2=1/n【(x1-x拔)²;+(x2-x拔)²;+·····(xn-x拔)²;】來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。
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