初中二次函數(shù)所有知識(shí)點(diǎn)

1 二次函數(shù)的定義

一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函數(shù).

注意：(1)二次函數(shù)是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)a必須是非零實(shí)數(shù)，即a≠0，而b，c是任意實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的表達(dá)式是一個(gè)整式;

(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù);

(3)當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù);

(4)一個(gè)函數(shù)是否是二次函數(shù)，要化簡(jiǎn)整理后，對(duì)照定義才能下結(jié)論，例如y=x2-x(x-1)化簡(jiǎn)后變?yōu)閥=x，故它不是二次函數(shù).

2拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線

x = -b/2a。

對(duì)稱(chēng)軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

3二次函數(shù)的三種表達(dá)式

①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k

③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)

以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系

對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即

h=-b/2a=(x1+x2)/2

k=(4ac-b^2)/4a

②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

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