2023年初中數(shù)學(xué)分式知識點(diǎn)詳解

基礎(chǔ)知識點(diǎn)

1、分式：

(1)分式的定義：如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

(2)分式是否有意義的條件：分式的分母是否等于0，有意義則分母不為0，無意義則分母為0。

(3)分式值為零的條件：分式A/B=0的條件是A=0，且B≠0。

注意：求出使分子為0的字母的值，一定要注意檢驗(yàn)這個(gè)字母的值是否使分母的值為0，一般當(dāng)分母的值不為0時(shí)，就是所要求的字母的值。

(4)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

(5)分式的通分：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼�式，不改變分式的值，把幾個(gè)異分母分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。

注意：通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)式子的最簡公分母。幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母就叫做最簡公分母。求最簡公分母時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

● “各分母所有因式的最高次冪”是指凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底數(shù)的冪選取指數(shù)最大的;

● 如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù);

● 如果分母是多項(xiàng)式，一般應(yīng)先分解因式。

(6)分式的約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子和分母中的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。

約分后分式的分子、分母中不再含有公因式，這樣的分式叫最簡公因式。

注意：約分的關(guān)鍵是找出分式中分子和分母的公因式

◆(1)約分時(shí)注意分式的分子、分母都是乘積形式才能進(jìn)行約分;分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，通常將分子、分母分解因式，然后再約分;

◆(2)找公因式的方法：

① 當(dāng)分子、分母都是單項(xiàng)式時(shí)，先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母的最低次冪，它們的積就是公因式;

②當(dāng)分子、分母都是多項(xiàng)式時(shí)，先把多項(xiàng)式因式分解。

2、分式方程

(1)分式方程的概念

◆ a、分式方程的重要特征：

①是等式;

②方程里含有分母;

③分母中含有未知數(shù).

◆ b、分式方程和整式方程的區(qū)別：在于分母中是否有未知數(shù)。

(2)分式方程的解法

解分式方程的一般步驟：

a、方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母);

b、解整式方程，求出整式方程的解;

c、檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解。

注意：解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的。

運(yùn)算知識點(diǎn)

分式的四則運(yùn)算

◆乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

◆除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

◆乘方法則：分式乘方要把分子、分母各自乘方。用式子表示是：(其中n是正整數(shù))

◆加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減;異分母的分式相加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，然后再加減。

注意

(1)異分母分式相加減，“先通分”是關(guān)鍵，最簡公分母確定后再通分，計(jì)算時(shí)要注意分式中符號的處理，特別是分子相減，要注意分子的整體性;

(2)運(yùn)算時(shí)順序合理、步驟清晰;

(3)運(yùn)算結(jié)果必須化成最簡分式或整式。

應(yīng)用知識點(diǎn)

涉及有關(guān)分式的知識點(diǎn)，主要是對分式的基本概念和分式方程的考察，易出錯(cuò)的幾個(gè)問題是：分子不添加括號;漏乘整數(shù)項(xiàng);約去相同因式導(dǎo)致漏根;忘記檢驗(yàn)根。

類型一、判別分式方程

【解析】要判斷一個(gè)方程是否為分式方程，就看其有無分母，并且分母中是否含有未知數(shù)。A、C兩項(xiàng)中的方程盡管有分母，但分母都是常數(shù);D項(xiàng)中的方程盡管含有分母，但分母中不含未知數(shù)，由定義知這三個(gè)方程都不是分式方程，只有B項(xiàng)中的方程符合分式方程的定義，故選B。

類型二、解分式方程

【解析】將分式方程化為整式方程時(shí)，乘最簡公分母時(shí)應(yīng)乘原分式方程的每一項(xiàng)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng)。特別提醒：解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)方程的根。

【答案】

類型三、分式方程的增根

【解析】處理這類問題時(shí)，通常先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再將求出的增根代入整式方程，即可求解。

【答案】

類型四、分式方程的應(yīng)用

【解析】有關(guān)列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：

(1)審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)設(shè)未知數(shù);

(3)找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程;

(4)解這個(gè)分式方程;

(5)驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根;

(6)寫出答案。

【答案】

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