一、基本原理、方法和步驟
1.1、基本公式或原理
路程 = 速度×時(shí)間
速度 = 路程÷時(shí)間
時(shí)間 = 路程÷速度
看，其實(shí)追及相遇問題就是翻來覆去用這個(gè)公式。
1.2、用一元一次方程解決實(shí)際問題的方法和步驟為：
①找出等量關(guān)系式 ②設(shè)未知數(shù) ③列方程 ④解方程 ⑤檢驗(yàn)。這五步，可以簡(jiǎn)化為五個(gè)字：“找、設(shè)、列、解、檢”來記憶。
1.3、找等量關(guān)系
用一元一次方程解決實(shí)際問題，最關(guān)鍵也是最要的，就是第一步“找等量關(guān)系”，那么對(duì)于追及和相遇問題，我們可以發(fā)現(xiàn)通常有以下等量關(guān)系：
1)相遇問題即相向而行，等量關(guān)系：雙方所走路程之和=全部路程;
2)追及問題即同向而行，等量關(guān)系：雙方行程的差=原來的路程(開始時(shí)雙方相距的路程) = 追趕者走的路程 - 被追趕者走的路程.
3)航行問題(飛行問題)
船的航行問題，等量關(guān)系：
①船在靜水中速度+水速=船的順?biāo)俣?②船在靜水中速度-水速=船的逆水速度。
飛機(jī)的飛行問題，等量關(guān)系：
①飛機(jī)的飛行速度+風(fēng)速=飛機(jī)順風(fēng)時(shí)的速度;②飛機(jī)的飛行速度-風(fēng)速=飛機(jī)逆風(fēng)時(shí)的速度;
4)環(huán)形跑道問題：①甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時(shí)同地同向出發(fā)，等量關(guān)系：快的 - 慢的 = 多跑一圈或幾圈的路程。②甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時(shí)同地反向出發(fā)，等量關(guān)系：雙方所跑路程之和 = 環(huán)形跑道一圈的長(zhǎng)度。
5)往返問題，等量關(guān)系：去時(shí)路程 = 回時(shí)路程
6)回聲問題，等量關(guān)系：聲音速度×時(shí)間 = 聲音從發(fā)出地至碰到障礙物再返回聲音接收地路程之和。
7)接力問題，等量關(guān)系：甲路程+乙路程 = 全部路程 或者 甲完成量+乙完成量 = 全部完成量
二、例題詳解
2.1、相遇問題
例1、甲、乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一條路線相向勻速行駛，已知出發(fā)后3 h兩人相遇，相遇時(shí)乙比甲多行駛了60 km，相遇后再經(jīng)1 h乙到達(dá)A地.
(1)甲、乙兩人的速度分別是多少?
(2)兩人從A，B兩地同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩人相距20 km?
解：(1)解法一：設(shè)甲的速度為xkm/h，易得乙的速度為(x+20)km/h.
根據(jù)題意，得3x+3(x+20)=4(x+20)，
解得x=10.
則x+20=30.
答：甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h.
解法二：設(shè)相遇時(shí)乙行了3ykm，那么甲行了ykm
根據(jù)題意：3y-y = 2y =60
解得y=30km
所以甲的速度為30÷3=10km/h，乙的速度為30 km/h.
(2)設(shè)經(jīng)過th兩人相距20 km.
①相遇前相距20 km時(shí)，可得方程10t+30t+20=4×30，
解得t=2.5;
②相遇后相距20 km時(shí)，可得方程10t+30t=4×30+20，
解得t=3.5.
答：經(jīng)過2.5 h或3.5 h兩人相距20 km.
2.2、追及問題
例2、甲、乙兩站間的路程為360千米，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行駛48千米，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行駛88千米.兩列火車同時(shí)開出，同向而行，慢車在前，快車在后，問經(jīng)過幾小時(shí)快車追上慢車?
解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)，快車追上慢車.(88-48)·x=360，x=9.所以經(jīng)過9小時(shí)快車追上慢車
2.3、航行問題
例3、一艘船航行于A，B兩碼頭之間，順?biāo)叫行?小時(shí)，逆水航行需5小時(shí)，已知水流速度是4千米/時(shí)，求這兩個(gè)碼頭之間的距離.
解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，3(x+4)=5(x-4)，x=16.則3×(16+4)=60(千米).所以這兩個(gè)碼頭之間的距離為60千米.
2.4、環(huán)形跑道問題
例4、甲、乙二人在300m長(zhǎng)的環(huán)形跑道上練習(xí)長(zhǎng)跑，甲的速度是6m/s，乙的速度是7m/s.
(1)如果甲、乙二人同地背向跑，乙先跑2s，然后甲再跑，那么甲跑多少秒后甲、乙二人第一次相遇?
(2)如果甲、乙二人同時(shí)同地同向跑，乙跑幾圈后能首次追上甲?
解：(1)設(shè)甲跑xs后甲、乙二人第一次相遇，依題意，得7×2+7x+6x=300，解得x=22，所以甲跑22s后甲、乙二人第一次相遇.
(2)設(shè)經(jīng)過ys后，乙能首次追上甲，依題意，得7y-6y=300，解得y=300.因?yàn)橐遗芤蝗π?00/7s，所以乙跑了300÷(300/7)=7(圈).故乙跑7圈后能首次追上甲.
例5、甲、乙兩人在操場(chǎng)上練習(xí)競(jìng)走，已知操場(chǎng)一周為300m，甲每分鐘走100m，乙每分鐘走60m，現(xiàn)在兩人同時(shí)同地同向出發(fā)xmin后第一次相遇，則下列方程中錯(cuò)誤的是( )
A. (100-60)x=300 B. 100x=300+60x
C. x/3-x/5=1 D. 100x+300=60x
答案：D
2.5、往返問題
例6、春節(jié)假期，小陳駕車從珠海出發(fā)到香港，去時(shí)在港珠澳大橋上用了40分鐘，返回時(shí)平均速度提高了25千米/小時(shí)，在港珠澳大橋上的用時(shí)比去時(shí)少了10分鐘，求小陳去時(shí)的平均速度，設(shè)他去時(shí)駕車的平均速度為x千米/小時(shí)，則可列方程為
解：設(shè)他去時(shí)駕車的平均速度為x千米/小時(shí)，則返回時(shí)駕車的平均速度為(x+25)千米/小時(shí)，
依題意，得：(2/3)x=(x+25)/2.
故答案為：(2/3)x=(x+25)/2.
2.6、回聲問題
例7、一輛貨運(yùn)小汽車以15米/秒的速度向?qū)γ嫔焦刃旭�，司機(jī)鳴一下喇叭，4秒后聽到回響，這時(shí)汽車離山谷( )米(已知空氣中聲音的傳播速度約為340米/秒)
解：設(shè)此時(shí)汽車離山谷x米，
聲音從發(fā)出地至碰到障礙物再返回聲音接收地路程之和= 2x + 4×15
聲音速度×時(shí)間 = 340×4
根據(jù)等量關(guān)系有：2x + 4×15 = 340×4
解得x= 650米
2.7、接力問題
例8、某地為了打造風(fēng)光帶，將一段長(zhǎng)為360 m的河道整治任務(wù)交給甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)接力完成，共用時(shí)20天.已知甲工程隊(duì)每天整治24 m，乙工程隊(duì)每天整治16 m，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別整治了多長(zhǎng)的河道.
解：設(shè)甲工程隊(duì)整治了x天，則乙工程隊(duì)整治了(20-x)天.
由題意，得24x+16(20-x)=360，
解得x=5.
所以乙工程隊(duì)整治了20-5=15(天).
甲工程隊(duì)整治的河道長(zhǎng)為24×5=120 (m)，
乙工程隊(duì)整治的河道長(zhǎng)為16×15=240 (m).
答：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別整治了120 m，240 m的河道.
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