初中數(shù)學(xué)：一元一次方程的應(yīng)用題歸納

方程的有關(guān)概念

1. 方程：

含有未知數(shù)的等式就叫做方程。

2. 一元一次方程：

只含有一個(gè)未知數(shù)(元)x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程。

例如： 1700+50x=1800， 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程。

3．方程的解：

使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

注：

(1) 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個(gè)數(shù)值(或幾個(gè)數(shù)值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無解的過程。

(2)方程的解的檢驗(yàn)方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論。

等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)(1)：

等式兩邊都加上(或減去)同個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。

用式子形式表示為：如果a=b，那么a±c=b±c

等式的性質(zhì)(2)：

等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。

移項(xiàng)法則

把等式一邊的某項(xiàng)變號后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。

去括號法則

1. 括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號相同。

2. 括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號改變。

解方程的一般步驟

1. 去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù))

2. 去括號(按去括號法則和分配律)

3. 移項(xiàng)(把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊，移項(xiàng)要變號)

4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)

5. 系數(shù)化為1(在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=).

列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

1.列方程解應(yīng)用題的基本步驟

注意：

(1)初中列方程解應(yīng)用題時(shí)，怎么列簡單就怎么列(即所列的每一個(gè)方程都直接的表示題意)，不用擔(dān)心未知數(shù)過多，簡化審題和列方程的步驟，把難度轉(zhuǎn)移到解方程的步驟上。

(2)解方程的步驟不用寫出，直接寫結(jié)果即可。

(3)設(shè)未知數(shù)時(shí)，要標(biāo)明單位，在列方程時(shí)，如果題中數(shù)據(jù)的單位不統(tǒng)一，必須把單位換算成統(tǒng)一單位，尤其是行程問題里需要注意這個(gè)問題。

2.設(shè)未知數(shù)的方法

設(shè)未知數(shù)的方法一般來講，有以下幾種：

(1)“直接設(shè)元”：題目里要求的未知量是什么，就把它設(shè)為未知數(shù)，多適用于要求的未知數(shù)只有一個(gè)的情況。

(2)“間接設(shè)元”：有些應(yīng)用題，若直接設(shè)未知數(shù)很難列出方程，或者所列的方程比較復(fù)雜，可以選擇間接設(shè)未知數(shù)，而解得的間接未知數(shù)對確定所求的量起中介作用。

(3)“輔助設(shè)元”：有些應(yīng)用題不僅要直接設(shè)未知數(shù)，而且要增加輔助未知數(shù)，但這些輔助未知數(shù)本身并不需要求出，它們的作用只是為了幫助列方程，同時(shí)為了求出真正的未知量，可以在解題時(shí)消去。

(4)“部分設(shè)元”與“整體設(shè)元”轉(zhuǎn)換：當(dāng)整體設(shè)元有困難時(shí)，可以考慮設(shè)其一部分為未知數(shù)，反之亦然，如：數(shù)字問題。

題型一：數(shù)字問題

(1)多位數(shù)字的表示方法：

一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字分別為a、b，(其中a、b均為整數(shù)， 1≤a≤9，0≤b≤9)則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10a+b

一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，(其中均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)則這個(gè)三位數(shù)表示為：100a+b+c

(2)奇數(shù)與偶數(shù)的表示方法：

偶數(shù)可表示為2k，奇數(shù)可表示為2k+1(其中k表示整數(shù))

(3)三個(gè)相鄰的整數(shù)的表示方法：

可設(shè)中間一個(gè)整數(shù)為a，則這三個(gè)相鄰的整數(shù)可表示為a-1,a,a+1。

例1：一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，小明認(rèn)為自己可以得滿分，不料卷子發(fā)下來一看得了96分，原來是由于粗心把一個(gè)題目的答案十位與個(gè)位數(shù)字寫顛倒了，結(jié)果自己的答案比正確答案大了36，而正確答案的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍.正確答案是多少?

例2：某年份的號碼是一個(gè)四位數(shù)，它的千位數(shù)字是2，如果把2移到個(gè)位上去，那么所得的新四位數(shù)比原四位數(shù)的2倍少6，求這個(gè)年份。

題型二：日歷問題

(1)在日歷問題中，橫行相鄰兩數(shù)相差1，豎列相鄰兩數(shù)相差7.

(2)日歷中一個(gè)豎列上相鄰3個(gè)數(shù)的和的最小值時(shí)24，最大值時(shí)72，且這個(gè)和一定是3的倍數(shù).

(3)一年中，每月的天數(shù)是有規(guī)律的，一、三、五、七、八、十、十二這七個(gè)月每月都是31天，四、六、九、十一這四個(gè)月每月都是30天，二月平年28天，閏年29天，所以，日歷表中日期的取值是有范圍的.

例3：下表是2011年12月的日歷表，請解答問題：在表中用形如下圖的平行四邊形框框出4個(gè)數(shù)，

(1)若框出的4個(gè)數(shù)的和為74，請你通過列方程的辦法，求出它分別是哪4天?

(2)框出的4個(gè)數(shù)的和可能是26嗎?為什么?

例4：如圖，框內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和為28，請通過平移長方形框的方法，使框內(nèi)的數(shù)字之和為68，這樣的長方形的位置有幾個(gè)?能否使框內(nèi)的四個(gè)數(shù)字之和為49?若能，請找出這樣的位置;若不能，請說明理由.

題型三：和差倍分問題

和、差、倍問題關(guān)鍵要分清是幾倍多幾和幾倍少幾.

(1)當(dāng)較大量是較小量的幾倍多幾時(shí)

(2)當(dāng)較大量是較小量的幾倍少幾時(shí)

例5：一部拖拉機(jī)耕一片地，第一天耕了這片地的;第二天耕了剩下部分的，還剩下42公頃沒耕完，則這片地共有多少公頃?

例6：牧羊人趕著一群羊?qū)ふ乙粋�(gè)草長得茂盛的地方，一個(gè)過路人牽著一只肥羊從后面跟了上來，他對牧羊人說：“你趕的這群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果這群羊增加一倍，再加上原來這群羊的一半，又加上原來這群羊一半的一半，連你這只羊也算進(jìn)去，才剛好湊滿100只.”問牧羊人的這群羊共有多少只?

題型四：行程問題

1.行程問題

路程=速度×時(shí)間

相遇路程=速度和×相遇時(shí)間

追及路程=速度差×追及時(shí)間

2.流水行船問題

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度-水流速度

水流速度=×(順流速度-逆流速度)

3.火車過橋問題

火車過橋問題是一種特殊的行程問題，需要注意從車頭至橋起，到車尾離橋止，火車所行距離等于橋長加上車長，列車過橋問題的基本數(shù)量關(guān)系為：

車速×過橋時(shí)間=車長+橋長.

例7：有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙背向而行.甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米.出發(fā)后，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇，求花圃的周長.

例8：某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開車時(shí)間早到15分鐘，若每小時(shí)行18千米，則比火車開車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，則此人此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)為多少?

例9：一小船由A港到B港順流需行6小時(shí)，由B港到A港逆流需行8小時(shí)，一天，小船從早晨6點(diǎn)由A港出發(fā)順流行至B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小時(shí)后找到救生圈.問：

(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小時(shí)?

(2)救生圈是何時(shí)掉入水中的?

題型五：工程問題

工作總量=工作時(shí)間×工作效率

各部分工作量之和=1

例10：有甲、乙、丙三個(gè)水管，獨(dú)開甲管5小時(shí)可以注滿一池水;甲、乙兩管齊開，2小時(shí)可注滿一池水;甲、丙兩管齊開，3小時(shí)注滿一池水.現(xiàn)把三管一齊開，過了一段時(shí)間后甲管因故障停開，停開后2小時(shí)水池注滿.問三管齊開了多少小時(shí)?

例11：檢修一住宅區(qū)的自來水管道，甲單獨(dú)完成需14天，乙單獨(dú)完成需18天，丙單獨(dú)完成需12天.前7天由甲、乙兩人合作，但乙中途離開了一段時(shí)間，后2天由乙、丙兩人合作完成，問乙中途離開了幾天?

題型六：商品銷售問題

在現(xiàn)實(shí)生活中，購買商品和銷售商品時(shí)，經(jīng)常會遇到進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、打折等概念，在了解這些基本概念的基礎(chǔ)上，還必須掌握以下幾個(gè)等量關(guān)系：

利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)

利潤=進(jìn)價(jià)×利潤率

實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)×打折率

例12：某商場經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了，使得利潤增加了8個(gè)百分點(diǎn)，求經(jīng)銷這種商品原來的利潤率。

例13：某商品月末的進(jìn)貨價(jià)為比月初的進(jìn)貨價(jià)降了8%，而銷售價(jià)不變，這樣，利潤率月末比月初高10%，問月初的利潤率是多少?

題型七：方案決策問題

在實(shí)際生活中，做一件事情往往會有多種選擇，這就需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用，到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，把每一種方案的結(jié)果先算出來，進(jìn)行比較后得出最佳方案。

例14：某開發(fā)商進(jìn)行商鋪促銷，廣告上寫著如下條款：

投資者購買商鋪后，必須由開發(fā)商代為租賃5年，5年期滿后由開發(fā)商以比原商鋪標(biāo)價(jià)高20%的價(jià)格進(jìn)行回購，投資者可在以下兩種購鋪方案中做出選擇：

方案一：投資者按商鋪標(biāo)價(jià)一次性付清鋪款，每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價(jià)的10%.

方案二：投資者按商鋪標(biāo)價(jià)的八五折一次性付清鋪款，2年后每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價(jià)的10%，但要繳納租金的10%作為管理費(fèi)用.

(1)請問：投資者選擇哪種購鋪方案，5年后所獲得的投資收益率更高?為什么?(注：)

(2)對同一標(biāo)價(jià)的商鋪，甲選擇了購鋪方案一，乙選擇了購鋪方案二，那么5年后兩人獲得的收益將相差5萬元.問：甲、乙兩人各投資了多少萬元?

例15：有一個(gè)只允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人.一天王老師到達(dá)道口時(shí)，發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有3人通過道口，此時(shí)，自己前面還有36個(gè)人等待通過，通過道口后，還需7分鐘到達(dá)學(xué)校.

(1)若繞道而行，要15分鐘到達(dá)學(xué)校。從節(jié)省時(shí)間考慮，王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校還是選擇通過擁擠的道口去學(xué)校?

(2)若在王老師等人的維持下，幾分鐘后秩序恢復(fù)正常(每分鐘仍有3人通過道口)，結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過道口，問維持秩序的時(shí)間是多少?

題型八：配套問題

“配套”型應(yīng)用題中有三組數(shù)據(jù)：

(1)車間工人的人數(shù);

(2)每人每天平均能生產(chǎn)的不同的零件數(shù);

(3)不同零件的配套比.

(利用(1)(3)得到等量關(guān)系，構(gòu)造方程)

一般地說，(2)、(3)兩個(gè)數(shù)據(jù)可以預(yù)先給定.例如，在給出(2)、(3)兩組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，如何確定車間工人人數(shù)，使問題有整數(shù)解.

例16：某車間有28名工人，生產(chǎn)一種螺栓和螺母，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)，一個(gè)螺栓要配兩個(gè)螺母.第一天安排14名工人生產(chǎn)螺栓，14名工人生產(chǎn)螺母，問第二天應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓、多少人生產(chǎn)螺母，才能使兩天總的生產(chǎn)效率最高?

例17：某車間有62個(gè)工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個(gè)或乙種零件23個(gè).已知每3個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，問應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套?

題型九：積分問題

比賽場數(shù)=勝的場數(shù)+平的場數(shù)+負(fù)的場數(shù)，比賽分?jǐn)?shù)=勝場得分+平場得分負(fù)場扣分。

例18：足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分.一支足球隊(duì)在某個(gè)賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽了8場，輸了一場，得17分.

(1)前8場比賽中，這支球隊(duì)共勝了多少場?

(2)這支球隊(duì)打滿14場比賽，最高能得多少分?

(3)通過對比賽情況的分析，這支球隊(duì)打滿14場比賽，得分不低于29分，就可以達(dá)到預(yù)期目標(biāo).請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊(duì)至少要勝幾場，才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).

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